【相關系數公式】在統(tǒng)計學中，相關系數是用來衡量兩個變量之間線性關系強度和方向的一個重要指標。它可以幫助我們判斷兩個變量是否具有正相關、負相關或無相關性。常見的相關系數有皮爾遜相關系數、斯皮爾曼等級相關系數和肯德爾等級相關系數等。
下面我們將對這些相關系數的定義、公式及適用場景進行總結，并通過表格形式進行清晰展示。
一、相關系數概述
1. 皮爾遜相關系數（Pearson Correlation Coefficient）
- 用于衡量兩個連續(xù)變量之間的線性相關程度。
- 取值范圍為 [-1, 1]，其中：
- 1 表示完全正相關；
- -1 表示完全負相關；
- 0 表示無線性相關。
2. 斯皮爾曼等級相關系數（Spearman Rank Correlation Coefficient）
- 用于衡量兩個變量之間的單調關系，適用于非正態(tài)分布的數據或有序數據。
- 基于變量的排名而非實際數值計算。
3. 肯德爾等級相關系數（Kendall Rank Correlation Coefficient）
- 用于衡量兩個變量之間的等級一致性，適用于小樣本或有序數據。
- 更適合處理分類變量之間的相關性。
二、相關系數公式匯總
| 相關系數類型 | 公式表達式 | 說明 |
| 皮爾遜相關系數 | $ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} $ | 計算兩個變量的協(xié)方差除以各自標準差的乘積，適用于連續(xù)變量。 |
| 斯皮爾曼等級相關 | $ \rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} $ | 其中 $ d_i $ 是兩個變量的排名差，適用于有序數據或非正態(tài)分布數據。 |
| 肯德爾等級相關 | $ \tau = \frac{C - D}{\frac{n(n - 1)}{2}} $ | $ C $ 為一致對數，$ D $ 為不一致對數，適用于小樣本或等級數據。 |
三、適用場景對比
| 相關系數類型 | 適用數據類型 | 數據分布要求 | 是否適用于非線性關系 | 備注 |
| 皮爾遜相關系數 | 連續(xù)變量 | 正態(tài)分布 | 否 | 最常用，但對異常值敏感 |
| 斯皮爾曼等級相關 | 有序變量、非正態(tài)數據 | 無嚴格要求 | 是 | 對異常值較穩(wěn)健 |
| 肯德爾等級相關 | 分類變量、等級數據 | 無嚴格要求 | 是 | 適用于小樣本，結果更穩(wěn)定 |
四、總結
相關系數是數據分析中非常重要的工具，能夠幫助我們理解變量之間的關系。選擇合適的相關系數類型取決于數據的性質和分布情況。在實際應用中，建議結合數據可視化和統(tǒng)計檢驗來全面評估變量之間的相關性。